教材内容
你可以使用组合和阶乘记号来帮助展开二项式表达式。对于较大的指数，这比使用帕斯卡三角形更快。
对于正整数 \(n\)，\(n\) 的阶乘记作 \(n!\)，定义为：
\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1\)
特别地，\(0! = 1\)（定义）
读作"\(n\) 阶乘"
阶乘记号的基本性质：
1. \(n! = n \times (n-1)!\)
2. \(0! = 1\)（特殊定义）
3. \(1! = 1\)
4. 阶乘增长非常快
阶乘记号 (Factorial Notation)：
\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1\)
其中 \(0! = 1\)
题目：计算 \(5!\)
解答：
\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
因此 \(5! = 120\)
从 \(n\) 个物品中选择 \(r\) 个物品的方法数记作：
\({}^n C_r\) 或 \(\binom{n}{r}\)
计算公式：\({}^n C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
读作"\(n\) 选 \(r\)"
组合公式 (Combination Formula)：
\({}^n C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
其中 \(0 \leq r \leq n\)
题目：计算 \({}^5 C_2\)
解答：
\({}^5 C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10\)
因此 \({}^5 C_2 = 10\)
题目：求帕斯卡三角形第10行第6个数字
解答：
第 \(n\) 行第 \(r\) 个数字由 \({}^n C_r\) 给出
第10行第6个数字 = \({}^9 C_5\)（因为第 \(n\) 行第 \(r\) 个数字是 \({}^n C_{r-1}\)）
\({}^9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{362880}{120 \times 24} = \frac{362880}{2880} = 126\)
因此第10行第6个数字是126
使用阶乘和组合时要注意：
题目：证明 \({}^n C_r = {}^n C_{n-r}\)
证明：
\({}^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\({}^n C_{n-r} = \frac{n!}{(n-r)!(n-(n-r))!} = \frac{n!}{(n-r)!r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
因此 \({}^n C_r = {}^n C_{n-r}\)
这个性质说明：从 \(n\) 个物品中选择 \(r\) 个的方法数等于选择 \(n-r\) 个的方法数。
题目：计算 \({}^n C_1\) 和 \({}^n C_2\)
解答：
\({}^n C_1 = \frac{n!}{1!(n-1)!} = \frac{n \times (n-1)!}{1 \times (n-1)!} = n\)
\({}^n C_2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}\)
因此 \({}^n C_1 = n\) 和 \({}^n C_2 = \frac{n(n-1)}{2}\)
通过本节的学习，你应该能够：